É muito comum vermos essa expressão grafada incorretamente, tanto sem hífen quanto com hifen (dia-a-dia).

Dia a dia pode ser uma locução adverbial ou uma locução substantiva.

Enquanto locução adverbial, se grafa "dia a dia", o que significa "diariamente", "enquanto os dias passam".

Já como locução substantiva,  grafa-se com hífen (dia-a-dia). Equivale ao substantivo "quotidiano".

Exemplos com as duas expressões: 

O meu  dia-a-dia (meu quotidiano) é bastante movimentado, pois  dia a dia (diariamente,  enquanto passam os dia) tenho várias atividades imprescindíveis.

Se, dia a dia, você ler os meus textos de ajuda gramatical e vir os meus vídeos, posso garantir que o seu dia-a-dia conterá cada vez menos erros de Português.